田刚在拔尖数学期刊JAMS上登出散文,U.S.白令海

11月2日下午,美国里海大学教授曹怀东应邀在数学与信息科学学院107报告厅作了一场题为“Singularities
of the Ricci flow and Ricci
solitons”的学术报告。数学学院负责人及几何教研室老师和研究生聆听了本次报告。

近日,北京大学数学科学学院院长、北京国际数学研究中心主任田刚教授与人合作的论文《近爱因斯坦流形的结构》(On
the structure of almost Einstein
manifolds
)在世界顶级数学期刊《美国数学杂志》(Journal of American
Mathematical
Society
,简称JAMS)上发表。该杂志是美国数学会所办的国际数学最权威期刊之一,与Annals
of Mathematics,Inventiones Mathematicae ,Acta Mathematica

一起被认为是世界四大顶尖数学期刊。

曹怀东介绍了广义相对论与微分几何的发展关系,并回顾了黎曼几何的基本概念以及正曲率空间分类的拓扑障碍,如Gauss-
Bonnet 定理、Bonnet-Myers 定理和Synge定理。他介绍了Ricci
flow的短期存在性和唯一性,并从三维Ricci
flow奇点的形成、奇点模型以及分类、高维Ricci
soliton的分类和几何等方面展开,详细讲解了Ricci
flow的发展历史和最新研究成果。最后,曹怀东提出关于紧致稳定的Gradient
shrinking solitons的猜想,并对在场师生提出的问题进行了细致耐心的解答。

从上世纪末开始,有关非塌缩爱因斯坦流形的结构和正则性理论,一直是微分几何研究的核心问题之一。该理论的研究和许多其他几何问题,如凯勒几何中的典则度量存在性问题等有着密切联系。美国著名数学家Cheeger和Colding在1997年对瑞奇曲率有下界的非塌缩黎曼流形列的极限空间的奇性做了分析,证明了奇点具有切锥结构。在这项奠基性的工作之后,关于极限空间的正则性研究成为一个热点问题。田刚教授与合作者王兵的论文研究了具有近爱因斯坦度量的黎曼流形列的Gromov-Hausdorff极限空间,证明了一个非常深刻的结构定理,即正则集是一个光滑的凸的开流形,且奇点集余维数至少为2。该结构定理在凯勒几何中有非常重要的应用,
如被用于解决关于凯勒-爱因斯坦度量存在性的Yau-Tian-Donaldson猜想。他们在证明过程中还得到了新的拟局域(pseudo-locality)定理,和沿瑞奇流的度量的Gromov-Hausdorff距离的精细估计等新技术。这些新技巧对几何分析和度量几何的发展也有着十分重要的意义。

专家简介:

田刚教授多年来致力于微分几何和数学物理等基础领域的研究,解决了一系列重要问题,特别是在凯勒-爱因斯坦度量的研究中做出了开创性的工作。此次他和合作者关于近爱因斯坦流形的结构的研究结果,对微分几何等领域将产生深刻影响。

曹怀东,美国里海大学数学系讲座教授,清华大学兼职教授,国家杰出青年科学基金B获得者。曾获得Alfred
P.Sloan基础研究奖金、John Simon
Guggenheim国际研究奖等多项荣誉。他曾担任加州大学洛杉矶分校纯粹与应用数学研究所副所长,是国际著名期刊《微分几何杂志》(Journal
of Differential
Geometry)的执行主编。他的部分研究成果发表在国际公认顶尖四大期刊:Inventiones
Mathematicae、Annals of Mathematics、Acta Mathematica以及Journal of
AMS。

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